【抽象代数】Gauss整数环的因子分解

 时间:2025-01-04 13:37:21

我们很容易证明,整数环是唯一因子分解整环。比如,6=2*3=(-2)*(-3),我们认为这两种分解是等价的,因为2和-2是相伴的,它们之间只有一个单位-1的区别,同样的,3和-3也是相伴的。但是,这一点在Gauss整数环里面变得稍微复杂一点,因为Gauss整数环有四个单位。

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python

Gauss整数环的单位

1、Gauss整数环的单位是:1、-1、i、-i。容易判断,这些元素在Gauss整数环里面,都存在乘法逆:1的乘法逆是1;-1的乘法逆是-1;i和-i互逆。

【抽象代数】Gauss整数环的因子分解

3、所以,Gauss整数环的单位就这么多,没有更多了。

Gauss整数环的素元

1、2不是Gauss整数环的素元。这是因为:1+i和1-i都不是Gauss整数环的单位,也不是零元。

【抽象代数】Gauss整数环的因子分解

3、3是是Gauss整数环的素元。反设不是,那么就存在非零整数a、b、c、d,使得:3=(a+bi)(c+di)这也会导致矛盾。

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